[数学与算法] 深入解析拉格朗日乘数法：原理、应用与实践

在数学优化领域，尤其是在工程、经济学、机器学习和物理建模中，我们常常需要寻找多元函数在一组约束条件下的极值点（最大值或最小值）。拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）正是解决这类约束优化问题 (Constrained Optimization Problems) 的一种强大且优雅的工具。它将带有约束的优化问题转化为一个等价的无约束优化问题，通过引入辅助变量——拉格朗日乘数（Lagrange Multipliers），巧妙地融合了目标函数和约束条件。本文将深入探讨拉格朗日乘数法的理论基础、几何直观、算法步骤、常见应用场景、数值实现中的最佳实践，并通过实例加以说明。

目录#

  1. 问题定义与动机
    • 约束优化问题是什么？
    • 为什么需要拉格朗日乘数法？
  2. 核心思想与拉格朗日函数
    • 直观理解：梯度对齐
    • 拉格朗日函数的构造
    • 拉格朗日乘数 (λ) 的含义
  3. 理论推导 (一阶必要条件)
    • 等式约束下的KKT条件
    • 驻点方程
  4. 几何解释
    • 等高线/等值面与约束曲面的相切
    • 梯度向量共线性的图示
  5. 求解步骤 (等式约束)
  6. 推广：不等式约束与KKT条件
    • 不等式约束带来的复杂性
    • Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件的引入
    • KKT 条件的组成与含义
    • 互补松弛条件
  7. 关键注意事项与常见陷阱
    • 约束规格 (Constraint Qualification)
    • 临界点类型：极小值、极大值还是鞍点？
    • 处理多个等式/不等式约束
    • 拉格朗日乘数的符号意义 (等式 vs. 不等式)
  8. 最佳实践与数值计算考量
    • 解析求解 vs. 数值求解
    • 在数值优化器中的处理 (如 scipy.optimize)
    • 条件缩放与数值稳定性
  9. 经典应用实例
    • 例1： 体积固定的长方体最小表面积
    • 例2： 固定周长时的最大矩形面积
    • 例3： (KKT应用) 不等式约束下的线性规划简单案例
    • 例4： (高级应用) 求解Support Vector Machine (SVM) 的优化问题（概述）
  10. 总结
  11. 参考文献

1. 问题定义与动机#

  • 约束优化问题： 标准形式为： Minimize (or Maximize) f(x₁, x₂, ..., xₙ) Subject to: gᵢ(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0, i = 1, ..., m (等式约束) hⱼ(x₁, x₂, ..., xₙ) <= 0, j = 1, ..., p (不等式约束) 其中 f 是目标函数，x₁, ..., xₙ 是决策变量，gᵢ 和 hⱼ 定义了问题的可行域。
  • 为什么需要： 在现实世界中，优化通常不是自由无限制的。资源（预算、材料、时间）、物理定律（能量守恒）、设计规范（尺寸限制）等都会施加各种约束。直接求解 f 的梯度为0的点 (无约束临界点) 通常不在可行域内。我们需要一种方法系统地处理这些约束。

2. 核心思想与拉格朗日函数#

  • 直观理解 (等式约束)： 想象在崎岖的曲面(f)上行走，同时必须严格走在一条蜿蜒的山路(g(x) = 0)上。你的位置达到相对最高点或最低点时，山路的方向(∇g)和目标地形最陡峭的上升/下降方向(∇f)必然平行（要么同向要么反向）。拉格朗日乘数λ量化了这种平行关系(∇f = λ∇g)的强度。
  • 拉格朗日函数的构造： 对于具有等式约束 g(x) = 0 的最小化问题 min f(x)： L(x, λ) = f(x) + λ * g(x) 这里 L 是拉格朗日函数 (Lagrangian Function)，λ 称为拉格朗日乘数 (Lagrange Multiplier)，是一个标量（对于单个约束）或向量（对于多个约束）。
  • λ的含义： λ 可以被解释为目标函数 f 在最优解处对于约束 g(x) = 0 的灵敏度 (Sensitivity) 或影子价格 (Shadow Price)。|λ|的大小表示放松或收紧约束对最优目标值 f* 的影响程度。λ > 0 通常意味着放松约束（g(x) = c 中的 c 增大）会改善（减小）最小值（对于最小化问题）；反之亦然。注意符号约定在不同上下文中可能不同（最大化vs最小化，不等式约束）。

3. 理论推导 (一阶必要条件 - 等式约束)#

拉格朗日乘数法提供了寻找约束优化问题候选解(也称驻点或KKT点)的必要条件。对于单个等式约束下的最小化问题： Minimize f(x) subject to g(x) = 0

一阶必要条件 (KKT conditions for equality): 如果 x* 是一个局部极小点（或在某些正则性条件下），且满足一个称为约束规格 (Constraint Qualification, CQ, 如线性独立约束规范 LICQ) 的条件（保证在最优点约束梯度不为零且可行方向与线性化可行方向一致），则存在唯一的乘数 λ* 使得以下条件同时成立：

  1. 梯度消失条件 (Stationarity): ∇ₓL(x*, λ*) = ∇f(x*) + λ* * ∇g(x*) = 0 (拉格朗日函数关于原始变量 x 的梯度为零)
  2. 原始可行性 (Primal Feasibility): g(x*) = 0 (解必须满足原始约束条件)

多个等式约束： 若有 m 个等式约束 gᵢ(x) = 0, i=1..m，拉格朗日函数为： L(x, λ) = f(x) + Σᵢ₌₁ᵐ λᵢ * gᵢ(x) 相应的一阶必要条件为：

  1. ∇ₓL(x*, λ*) = ∇f(x*) + Σᵢ₌₁ᵐ λᵢ* * ∇gᵢ(x*) = 0
  2. gᵢ(x*) = 0, for all i = 1, ..., m

4. 几何解释#

考虑二维情况 min f(x, y) s.t. g(x, y)=0。

  • f(x, y) 的等值线是平面上的曲线，沿着这些曲线函数值恒定。
  • g(x, y)=0 定义了可行曲线。
  • ∇f 垂直于 f 的等值线，指向 f 增加最快的方向。
  • ∇g 垂直于约束曲线 g=0。
  • 最优点的必要条件 (∇f = λ∇g) 意味着在可行曲线上的最优点处，目标函数的等值线和约束曲线在该点是相切 (Tangent) 的！这意味着它们的法向量（即梯度∇f和∇g）在最优解处彼此平行。

5. 求解步骤 (等式约束)#

  1. 构造拉格朗日函数： L(x, λ) = f(x) + Σᵢ₌₁ᵐ λᵢ gᵢ(x)
  2. 求梯度/偏导数并设为零：
    • ∂L/∂xⱼ = 0 (j=1..n) -> n 个方程
    • ∂L/∂λᵢ = 0 (i=1..m) -> m 个方程 (实际上就是 gᵢ(x) = 0)
  3. 解方程组： 将第2步得到的 n+m 个方程（通常是非线性的）联立，求解 n+m 个未知数 (x₁, ..., xₙ, λ₁, ..., λₘ)。
  4. 确定解的类型： 求解出的点 (x*, λ*) 是驻点 (KKT点)，还需通过二阶充分条件 (检查Lagrangian的Hessian矩阵在约束切空间上的正/负定性) 或问题本身的性质（如凸性）来判断是极小点、极大点还是鞍点。

6. 推广：不等式约束与KKT条件#

现实问题中更常见的是不等式约束 (hⱼ(x) <= 0)。此时，一阶必要条件由更为通用的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件 给出。考虑问题： Minimize f(x) Subject to: gᵢ(x) = 0, i = 1, ..., m (等式约束) hⱼ(x) <= 0, j = 1, ..., p (不等式约束)

假设在局部最优解 x* 处满足适当的约束规格 (如LICQ)，则存在唯一的拉格朗日乘数 λ*(对于等式约束) 和 μ*(对于不等式约束)，使得以下KKT条件成立：

  1. 梯度消失条件 (Stationarity): ∇f(x*) + Σᵢ₌₁ᵐ λᵢ* ∇gᵢ(x*) + Σⱼ₌₁ᵖ μⱼ* ∇hⱼ(x*) = 0
  2. 原始可行性 (Primal Feasibility): gᵢ(x*) = 0, i=1..m hⱼ(x*) <= 0, j=1..p
  3. 对偶可行性 (Dual Feasibility): (仅针对不等式约束乘数) μⱼ* >= 0, j=1..p (不等式约束的乘数必须 非负)
  4. 互补松弛条件 (Complementary Slackness): (关键！针对不等式约束) μⱼ* * hⱼ(x*) = 0, j=1..p 这条条件至关重要：
    • 如果不等式约束 hⱼ(x*) < 0 (约束不紧，在解处不起作用)，则为了满足 μⱼ* * hⱼ(x*) = 0，必须有 μⱼ* = 0。这个约束在最优解处可以被忽略。
    • 如果约束是紧的 (hⱼ(x*) = 0)，那么 μⱼ* >= 0 可以是任意非负数（由其他方程决定）。
    • 互补松弛性告诉了我们哪些不等式约束在最优解处是活跃的(紧的)。

7. 关键注意事项与常见陷阱#

  1. 约束规格 (Constraint Qualification): KKT条件是必要条件，但它的成立依赖于问题的几何/代数性质在最优点的“良好行为”（即约束规格）。常用的CQ有线性独立约束规范(LICQ：活动约束梯度线性无关)，Slater条件(凸问题时常用)等。如果CQ不满足，KKT点不一定存在，即即使是最优点也可能不满足KKT条件！实践中，数值求解器通常假定CQ满足。
  2. 临界点类型： KKT条件仅给出候选解(驻点)。如何区分极小值、极大值和鞍点？
    • 二阶充分条件： 检查拉格朗日函数的Hessian矩阵 ∇ₓₓ²L(x*, λ*, μ*) 投影到所有紧约束的切空间 (或等价地，只考虑等式约束和紧的不等式约束定义的可行方向) 上的正定性（对于极小）或负定性（对于极大）。这在理论分析中重要，但数值计算中通常依赖局部搜索策略和问题结构（如凸性）来识别类型。
    • 凸性： 如果目标函数 f 是凸函数，等式约束 gᵢ 是线性的或仿射的 (gᵢ(x) = aᵢᵀx - bᵢ)，不等式约束 hⱼ 是凸函数，那么KKT条件不仅是必要条件，也是充分条件。此时KKT点就是全局最小点。
  3. 处理多个约束： 构造拉格朗日函数时，确保为每个等式约束引入一个λᵢ，为每个不等式约束引入一个μⱼ（并确保它们的符号规则正确，尤其是不等式约束的μⱼ >= 0）。
  4. λ 和 μ 的符号：
    • 等式约束 λ: 符号可为正或负，取决于约束和目标函数的相对方向以及问题是最大化还是最小化。
    • 不等式约束 μ: **必须非负 (μⱼ >= 0) **。这是KKT条件中的“对偶可行性”要求。负的μ在KKT条件下不被允许。
  5. 等式约束中的常数项： 将 g(x) = c 改写为 g(x) - c = 0 后再构造拉格朗日函数 L = f + λ(g(x) - c)。

8. 最佳实践与数值计算考量#

  • 解析 vs. 数值：
    • 解析求解： 适用于小规模、目标/约束为低阶多项式或有特殊结构的问题。手动求解 n+m 或 n+m+p 个非线性方程。
    • 数值求解： 绝大多数实际工程和科学问题采用数值方法。算法可以分为两大类：
      • 求解KKT系统： 使用非线性方程求解器（如牛顿法）直接求解由KKT条件构成的系统。
      • 序列无约束化方法：
        • 增广拉格朗日法： 结合拉格朗日函数和罚函数优点。求解一系列修正的拉格朗日函数。具有良好的收敛性质和数值稳定性，是常用最佳实践。使用函数如：scipy.optimize.minimize(method='trust-constr'), fmincon (MATLAB)。
        • 罚函数法： 将约束违反以某种权重加到目标函数上。权重过大可能导致病态，权重过小可能违反约束。鲁棒性通常不如增广拉格朗日法。
  • 利用库函数： Python (scipy.optimize.minimize), MATLAB (fmincon, linprog, quadprog), R (nloptr, constrOptim) 等数值库内置了各种约束优化算法（包括处理等式/不等式约束的SQP, Interior Point, Trust-Region 方法）。用户只需定义目标函数 f 和约束函数 g, h (及它们的梯度/Jacobian/Hessian，如果提供可显著提升速度和精度)。这些库内部会自动处理拉格朗日乘数的计算。
  • 重要性： 在目标函数中优先使用等式约束代替不等式约束（如果能等价表达）。等式约束在某种意义上“更强”，能更快地缩小可行域，数值求解可能更稳定、更容易一些。
  • 条件与缩放： 确保变量和约束的值域在数值上合理。过大的数值范围可能导致梯度计算不准确、Hessian条件数大等问题。在构造问题前对变量和约束进行适当缩放 (Scaling) 是一个重要的最佳实践，能显著提高数值优化器的稳定性和收敛速度。
  • 梯度的重要性： 如果可能，向求解器提供目标函数和约束函数的解析梯度 (Jacobian)。尽管许多求解器能进行数值差分(Numerical Differencing)近似梯度，但提供解析梯度能大幅提升计算速度、精度和可靠性（避免数值误差，尤其是在约束边界处）。对于大型问题或复杂函数，自动微分(Automatic Differentiation, AD) 是生成精确梯度的强大工具。

9. 经典应用实例#

例1：体积固定时的最小表面积长方体 (等式约束)#

问题： 构建一个长方体容器，体积固定为 V 立方米。求使其表面积 S 最小的长 (l)、宽(w)、高(h)。

建模：

  • 目标(最小化)： S = 2(lw + lh + wh)
  • 约束(等式)： l * w * h = V
  • 对称性考量： 可以预期最优解满足 l = w = h (立方体)。但我们用拉格朗日法系统推导。

求解：

  1. 构造拉格朗日函数： L(l, w, h, λ) = 2(lw + lh + wh) + λ (V - lwh)
  2. 求偏导并设为零：
    • ∂L/∂l = 2w + 2h - λwh = 0 => 2(w + h) = λwh (1)
    • ∂L/∂w = 2l + 2h - λlh = 0 => 2(l + h) = λlh (2)
    • ∂L/∂h = 2l + 2w - λlw = 0 => 2(l + w) = λlw (3)
    • ∂L/∂λ = V - lwh = 0 => lwh = V (4)
  3. 利用方程 (1), (2), (3) 分析关系： 比较方程(1), (2), (3)的右边形式： (1): λ = 2(w + h)/(wh) = 2(1/h + 1/w) (2): λ = 2(l + h)/(lh) = 2(1/h + 1/l) (3): λ = 2(l + w)/(lw) = 2(1/w + 1/l) 令 (1) = (2)：2(1/h + 1/w) = 2(1/h + 1/l) => 1/w = 1/l => l = w 令 (1) = (3)：2(1/h + 1/w) = 2(1/w + 1/l) => 1/h = 1/l => h = l ∴ l = w = h
  4. 代入体积约束 (4)： l * l * l = V => l³ = V => l = V¹ᐟ³ ∴ l* = w* = h* = V¹ᐟ³ (立方体)
  5. 计算 λ： 代入(1)：λ = 2(V¹ᐟ³ + V¹ᐟ³) / (V¹ᐟ³ * V¹ᐟ³) = 4V¹ᐟ³ / (V²ᐟ³) = 4V⁻¹ᐟ³
  6. 验证： λ 的数值在此不重要，它的符号（正）表明放松体积约束（增加V）会稍微减小单位体积所需的最小表面积？(注意：放松约束使 V 增大，这里需要具体计算：dS_min/dV = -λ ? 但需验证此关系式在此例中成立。更直接的理解：体积越大，要达到同等单位体积的最小表面积，形状越接近立方体的趋势越强，λ反映了这个影响强度)。

例2：固定周长时最大矩形面积 (等式约束)#

问题： 用长度为 P 的篱笆围成一个矩形（四边都需篱笆）。求使其面积 A 最大的长 (l) 和 宽 (w)。

建模：

  • 目标(最大化)： A = l * w
  • 约束(等式)： 2l + 2w = P (周长固定)，即 l + w = P/2

求解：

  1. 构造拉格朗日函数 (采用最大化)： 可以令 L = A + λ(C) = l * w + λ(P/2 - l - w)。或者为了使用标准的基于梯度的最小化工具（如scipy），更常见的技巧是将最大化问题转为最小化问题：Max A <=> Min -A。这里我们直接用最大化。
  2. 求偏导并设为零：
    • ∂L/∂l = w - λ = 0 => w = λ (1)
    • ∂L/∂w = l - λ = 0 => l = λ (2)
    • ∂L/∂λ = P/2 - l - w = 0 (3)
  3. 解方程： 由 (1) 和 (2) 得 l = w = λ。 代入 (3): P/2 - λ - λ = 0 => P/2 - 2λ = 0 => λ = P/4 ∴ l* = w* = P/4 (正方形)。
  4. 面积： A* = (P/4) * (P/4) = P²/16。

例3：简单线性规划 (KKT条件应用 - 不等式约束)#

问题： 考虑一个二维线性规划问题： Minimize f(x, y) = -2x - 3y Subject to: x + y <= 3 (约束1) x >= 0 (约束2) y >= 0 (约束3) (通常隐式包含，但需明确处理)

建模 & KKT条件应用:

  1. 构造拉格朗日函数 (注意不等式和乘数非负要求): L(x, y, μ₁, μ₂, μ₃) = -2x - 3y + μ₁ (x + y - 3) + μ₂ (-x) + μ₃ (-y) 注意：将 x >= 0 写为 -x <= 0, y >= 0 写为 -y <= 0，以符合 hⱼ <= 0 形式。
  2. KKT条件：
    • 梯度消失: ∂L/∂x = -2 + μ₁ * 1 + μ₂ * (-1) = 0 => μ₁ - μ₂ = 2 (1) ∂L/∂y = -3 + μ₁ * 1 + μ₃ * (-1) = 0 => μ₁ - μ₃ = 3 (2)
    • 原始可行性: x + y <= 3 (3) x >= 0 (4) y >= 0 (5)
    • 对偶可行性: μ₁ >= 0, μ₂ >= 0, μ₃ >= 0 (6, 7, 8)
    • 互补松弛: μ₁ (x + y - 3) = 0 (9) μ₂ (-x) = 0 => μ₂ x = 0 (10) (注意负号转换) μ₃ (-y) = 0 => μ₃ y = 0 (11)
  3. 分析求解：
    • 观察目标函数方向(-2x - 3y)，最优解应尽可能增大x和y，同时满足约束x+y<=3。由约束和函数系数(-3y斜率更陡)，解很可能在x+y=3与y轴的交点上。猜测最优点 (x*, y*) = (0, 3) (顶点)。
    • 检查KKT条件在(0, 3)点：
      • 可行性(3,4,5): 0 + 3 = 3 <= 3 (紧), 0>=0, 3>=0 -> 满足。
      • 互补松弛(9): μ₁ * (0+3-3) = μ₁ * 0 = 0 -> 恒成立。
      • 互补松弛(10): μ₂ * 0 = 0 -> 恒成立。
      • 互补松弛(11): μ₃ * 3 = 0 => 要求 μ₃ = 0。
      • 梯度条件(1): μ₁ - μ₂ = 2
      • 梯度条件(2): μ₁ - 0 = 3 => μ₁ = 3 (因为μ₃=0)
      • 代入(1): 3 - μ₂ = 2 => μ₂ = 1
      • 对偶可行性(6,7): μ₁=3>=0, μ₂=1>=0, μ₃=0>=0 -> 满足。
    • 所有KKT条件在(0, 3)点被满足，且该点是可行域的顶点。 验证是否为最小值：由于是线性规划且可行域是凸集，满足KKT的点即是全局最优解。f(0, 3) = -2*0 - 3*3 = -9。其他顶点：(3,0): f= -6 > -9, (0,0): f=0 > -9。确认是最小点。

例4：支持向量机 (SVM) 概述 (高级应用 - KKT条件核心作用)#

SVM的目标是找到一个最优超平面 wᵀx + b = 0 最大化两类数据点之间的边界（Margin）。软间隔SVM问题可形式化为： Minimize (1/2)||w||² + C Σᵢ ξᵢ (正则化项+损失项) Subject to: yᵢ(wᵀxᵢ + b) >= 1 - ξᵢ (i=1, ..., N) (样本正确分类且处于margin内/边界外) ξᵢ >= 0 (i=1, ..., N) (松弛变量非负)

  • 拉格朗日函数构造： 为每个 yᵢ(wᵀxᵢ + b) >= 1 - ξᵢ 引入 αᵢ >= 0，为每个 ξᵢ >= 0 引入 μᵢ >= 0。
  • KKT条件： 在最优解处：
    • 梯度条件 (w.r.t w, b, ξᵢ) 为零。
    • 原始约束成立。
    • 对偶可行性 αᵢ >= 0, μᵢ >= 0。
    • 互补松弛： αᵢ [yᵢ(wᵀxᵢ + b) - (1 - ξᵢ)] = 0 μᵢ ξᵢ = 0
  • 核心结论：
    • αᵢ = 0 的点 (yᵢ(wᵀxᵢ + b) > 1 - ξᵢ) 对定义决策边界 w 没有影响。
    • αᵢ > 0 的点 (yᵢ(wᵀxᵢ + b) = 1 - ξᵢ) 是支持向量 (Support Vectors)，决定了边界的位置。
      • 如果 ξᵢ = 0 (yᵢ(wᵀxᵢ + b) = 1)，点在边界上。
      • 如果 ξᵢ > 0 (yᵢ(wᵀxᵢ + b) = 1 - ξᵢ < 1)，点分类错误(ξᵢ>1)或在边界内。
    • w* = Σₛ αₛ yₛ xₛ (s 仅遍历支持向量)。 KKT条件，特别是互补松弛性，在理解SVM解的结构和对偶问题的推导中至关重要。

10. 总结#

拉格朗日乘数法及其推广形式KKT条件，为求解约束优化问题提供了一套系统的理论基础和强大的算法框架。其核心在于通过引入乘子将约束融入目标函数，转化为求解无约束的拉格朗日函数驻点问题（KKT点）。

  • 等式约束： 使用拉格朗日乘数法，条件是目标函数梯度与约束函数梯度在解处平行 (∇f = λ∇g) 且满足原始约束。
  • 不等式约束： 使用KKT条件，额外要求不等式约束的乘子非负 (μⱼ >= 0)，并通过互补松弛性 (μⱼhⱼ = 0) 区分活动约束（紧约束）和非活动约束。
  • 求解方式： 小规模/简单问题可解析求解方程组；大型/复杂问题依赖数值优化器（如增广拉格朗日法、内点法、SQP）和科学计算库(scipy.optimize.minimize)。
  • 关键点： 务必注意约束规格(CQ)的影响，验证KKT点的类型（极值点？），理解乘数的含义（灵敏度/影子价格），并在数值计算中遵循最佳实践（如提供梯度、进行缩放）。
  • 应用广泛： 从经典的几何最优化（最小面积/最大体积）到机器学习的核心算法（如SVM）、经济学的资源配置、工程中的最优设计控制，拉格朗日乘数法都是不可或缺的关键工具。

掌握拉格朗日乘数法/KKT条件，是深入理解与应用现代优化算法的关键一步。

11. 参考文献#

  1. Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical Optimization (2nd ed.). Springer.
    • 经典数值优化教材，包含拉格朗日法、KKT条件及各种数值算法的详细推导和讨论。
  2. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press.
    • 凸优化圣经，对KKT条件在凸优化中的理论和应用有极清晰的阐述（尤其推荐第5章）。
  3. Luenberger, D. G., & Ye, Y. (2016). Linear and Nonlinear Programming (4th ed.). Springer.
    • 经典的优化理论教材，涵盖线性/非线性规划，拉格朗日法和KKT条件讲解清晰透彻。
  4. Scipy Documentation: scipy.optimize.minimize. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.minimize.html
    • Python Scipy库中求解约束优化问题的主要函数文档，包含各种算法选择和参数设置。
  5. Wikipedia Contributors: Lagrange multiplier. Wikipedia, The Free Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier
    • 综合概述，包括历史、理论、例子和拓展阅读链接。
  6. Khan Academy: Lagrange multipliers, introduction. https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/lagrange-multipliers-and-constrained-optimization/a/lagrange-multipliers-single-constraint
    • 优秀的直观入门教程（英文）。
2026-03