庞果英雄会第二届在线编程大赛·线上初赛：AB 数

庞果英雄会举办的各类在线编程大赛是众多编程爱好者展示自我能力、提升编程技巧的优质平台。在第二届在线编程大赛的线上初赛中，“AB 数”这一题目吸引了众多参赛选手的目光。本题主要考查选手对数字规律的发现、分析以及编写高效算法的能力。本文将详细介绍“AB 数”这一问题，包括题目的分析、解题思路、代码实现以及复杂度分析等方面，希望能帮助读者更好地理解此类问题。

目录#

  1. 题目描述
  2. 问题分析
  3. 解题思路
  4. 代码实现
  5. 复杂度分析
  6. 常见问题及优化建议
  7. 总结
  8. 参考资料

1. 题目描述#

题目背景#

所谓 AB 数，是指这样的整数：它既可以表示为两个连续正整数的平方差，又可以表示为三个连续正整数的平方和。

具体要求#

给定一个范围 [L, R]（1 ≤ L ≤ R ≤ 10^9），要求找出该范围内所有的 AB 数，并输出它们的和。

输入输出示例#

  • 输入：L = 1, R = 100
  • 输出：满足条件的 AB 数的和

2. 问题分析#

两个连续正整数的平方差#

设两个连续正整数为 n 和 n + 1，则它们的平方差为 (n + 1)^2 - n^2，根据平方差公式展开可得：

(n+1)2−n2=(n+1+n)(n+1−n)=(2n+1)\begin{align*} (n + 1)^2 - n^2&=(n + 1 + n)(n + 1 - n)\\ &=(2n + 1) \end{align*}

这表明两个连续正整数的平方差是一个奇数。

三个连续正整数的平方和#

设三个连续正整数为 m - 1，m，m + 1，则它们的平方和为 (m - 1)^2 + m^2 + (m + 1)^2，展开可得：

(m−1)2+m2+(m+1)2=m2−2m+1+m2+m2+2m+1=3m2+2\begin{align*} (m - 1)^2 + m^2 + (m + 1)^2&=m^2 - 2m + 1 + m^2 + m^2 + 2m + 1\\ &=3m^2 + 2 \end{align*}

所以，AB 数需要同时满足是奇数且可以表示为 3m^2 + 2 的形式。

3. 解题思路#

筛选奇数#

由于 AB 数是奇数，我们可以从 L 开始，只遍历奇数，减少不必要的计算。

判断是否满足三个连续正整数的平方和形式#

对于每个奇数 x，我们需要判断是否存在正整数 m，使得 x = 3m^2 + 2，即判断 (x - 2) / 3 是否为一个完全平方数。

累加满足条件的 AB 数#

在遍历过程中，将满足 AB 数条件且在 [L, R] 范围内的数累加起来。

4. 代码实现#

import math
 
def is_perfect_square(num):
    """判断一个数是否为完全平方数"""
    root = int(math.sqrt(num))
    return root * root == num
 
def sum_of_AB_numbers(L, R):
    result = 0
    # 从 L 开始，只遍历奇数
    current = L if L % 2 == 1 else L + 1
    while current <= R:
        if is_perfect_square((current - 2) // 3):
            result += current
        current += 2
    return result
 
# 示例输入
L = 1
R = 100
print(sum_of_AB_numbers(L, R))

5. 复杂度分析#

时间复杂度#

遍历范围 [L, R] 内的奇数，时间复杂度为 O((R−L)/2)O((R - L) / 2)，对于每个数，判断是否为完全平方数的时间复杂度为 O(1)O(1)，因此总的时间复杂度为 O((R−L)/2)O((R - L) / 2)。

空间复杂度#

只使用了常数级的额外空间，因此空间复杂度为 O(1)O(1)。

6. 常见问题及优化建议#

常见问题#

  • 数值溢出：在处理较大的数值时，可能会出现数值溢出的问题，需要注意使用合适的数据类型。
  • 效率问题：当 R - L 的差值较大时，遍历的时间较长，可以考虑进一步优化算法。

优化建议#

  • 可以提前计算出可能的 m 值，减少判断完全平方数的次数。
  • 利用数学性质，缩小遍历的范围。

7. 总结#

通过对“AB 数”问题的分析和解决，我们可以看到，在解决编程问题时，需要先对问题进行深入的数学分析，找出问题的本质特征，然后根据这些特征设计合适的算法。同时，要注意代码的效率和边界条件的处理，避免出现错误。

8. 参考资料#

希望本文能帮助读者更好地理解“AB 数”问题的解题思路和方法。如果你对相关内容有任何疑问或建议，欢迎留言讨论。

2026-09